聆听混沌的声音





本世纪70年代初，美国普林斯顿大学的生态学家R·May在研究昆虫群体繁殖规律时提出一个著名的模型： χ[n＋1]=k＊χ[n]＊(1－χ[n])





　　其中χ[n]表示第n代群体的数目。当给定一个初始的χ[0]值，然后不停地迭代，人们发现随着k值的不同，得到的序列χn 有许多有趣的现象。当k值介于0与1之间时，χ[n]经过一定次数的迭代后都趋于0。当k值介于1和3之间时趋于1/k，当k值大于3时，经过一定次数的迭代后χ[n]在2个值之间交替变化，k值增加到3.449附近时，交替变化值又变为4个。继续增加k值，χ[n]交替变化的值的个数依4→8→16→32的次序迅速加倍，终于一片混沌。但当k值在3.835附近时，经过一定次数的迭代后，χ[n]非常简单地在3个值之间交替变化，接着又迅速依3→6→12的次序迅速增长。如此反复，在简单的方程中隐藏着令人惊奇的复杂性。χ[n]随k的变化情况如下图所示：



　　为了体现这种复杂之中的无穷奥妙，下面这个用TC2.0编写的小程序用χ[n]大小来控制PC喇叭的发音频率，设定不同的k值，我们就可以聆听到混沌的声音。